Applied proof theory: Proof interpretations and their use in mathematics

اولریش کوهلنباخ شکلی کاربردی از نظریه اثبات ارائه می‌کند که در سال‌های اخیر به نتایج جدیدی در نظریه اعداد، نظریه تقریب، تحلیل غیرخطی، هندسه ژئودزیک و نظریه ارگودیک (از جمله سایر موارد) منجر شده است. این رویکرد کاربردی مبتنی بر دگرگونی‌های منطقی (به اصطلاح تفسیرهای اثباتی) است و به استخراج داده‌های مؤثر (مانند کران‌ها) از در ابتدا اثبات‌های غیر مؤثر و همچنین نتایج کیفی جدید مانند استقلال راه‌حل‌ها مربوط می‌شود. از پارامترهای معین، تعمیم ادله با حذف مقدمات.

این کتاب ابتدا ماشین آلات منطقی لازم را با تأکید بر اشکال بدیع تفسیر عملکردی معروف گودل («دیالکتیکا») توسعه می‌دهد. سپس فرا قضیه های منطقی کلی را ایجاد می کند که این تکنیک ها را با ریاضیات عینی مرتبط می کند. در نهایت، دو مطالعه موردی گسترده (یکی در تئوری تقریب و دیگری در نظریه نقطه ثابت) به تفصیل نشان می‌دهد که چگونه می‌توان این ماشین را برای اثبات‌های عینی در حوزه‌های مختلف ریاضیات به کار برد.

Ulrich Kohlenbach presents an applied form of proof theory that has led in recent years to new results in number theory, approximation theory, nonlinear analysis, geodesic geometry and ergodic theory (among others). This applied approach is based on logical transformations (so-called proof interpretations) and concerns the extraction of effective data (such as bounds) from prima facie ineffective proofs as well as new qualitative results such as independence of solutions from certain parameters, generalizations of proofs by elimination of premises.

The book first develops the necessary logical machinery emphasizing novel forms of Gödel's famous functional ('Dialectica') interpretation. It then establishes general logical metatheorems that connect these techniques with concrete mathematics. Finally, two extended case studies (one in approximation theory and one in fixed point theory) show in detail how this machinery can be applied to concrete proofs in different areas of mathematics.