Global analysis of minimal surfaces

بسیاری از ویژگی‌های سطوح حداقل ماهیت جهانی دارند، و این در حال حاضر برای نتایجی که در دو جلد اول رساله بررسی شده است صادق است. بخش اول کتاب حاضر را می‌توان به عنوان بسط این نتایج در نظر گرفت. به عنوان مثال، دو فصل اول به قضایای وجود، نظم و یکتایی برای سطوح حداقل با مرزهای تا حدی آزاد می پردازد. در اینجا یکی از ویژگی های اصلی امکان \"لبه خزیدن\" در امتداد قسمت های آزاد مرز است. فصل سوم به برآوردهای پیشینی برای سطوح حداقل در ابعاد بالاتر و برای کمینه‌کننده‌های انتگرال‌های منفرد مربوط به عملکرد منطقه می‌پردازد. به طور خاص، قضایای دوردست برنشتاین مشتق شده‌اند. بخش دوم کتاب حاوی چیزی است که می توان به درستی آن را "نظریه جهانی سطوح حداقل" بنام که توسط اسمیل پیش بینی شده است. ابتدا، مسئله داگلاس با استفاده از نظریه Teichmüller از نو مورد بررسی قرار می گیرد. ثانیاً، قضایای شاخص مختلفی برای قضایای حداقلی مشتق شده‌اند و پیامدهای آنها برای فضای راه‌حل‌های مسئله پلاتو مورد بحث قرار می‌گیرد. در نهایت، یک رویکرد توپولوژیکی به سطوح حداقل از طریق میدان‌های برداری فردهولم در روح Smale ارائه شده است.

Many properties of minimal surfaces are of a global nature, and this is already true for the results treated in the first two volumes of the treatise. Part I of the present book can be viewed as an extension of these results. For instance, the first two chapters deal with existence, regularity and uniqueness theorems for minimal surfaces with partially free boundaries. Here one of the main features is the possibility of "edge-crawling" along free parts of the boundary. The third chapter deals with a priori estimates for minimal surfaces in higher dimensions and for minimizers of singular integrals related to the area functional. In particular, far reaching Bernstein theorems are derived. The second part of the book contains what one might justly call a "global theory of minimal surfaces" as envisioned by Smale. First, the Douglas problem is treated anew by using Teichmüller theory. Secondly, various index theorems for minimal theorems are derived, and their consequences for the space of solutions to Plateau´s problem are discussed. Finally, a topological approach to minimal surfaces via Fredholm vector fields in the spirit of Smale is presented.