Mathematical Foundation of Turbulent Viscous Flows: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, Italy, SEptember 1-5, 2003

پنج متخصص برجسته در مورد رویکردهای مختلف و مکمل به سؤالات اساسی در مطالعه معادلات مکانیک سیالات و دینامیک گازها فکر می کنند. کنستانتین معادلات اویلر سیالات تراکم‌ناپذیر ایده‌آل را ارائه می‌کند و مسئله دمیدن را برای معادلات ناویر-استوکس سیالات چسبناک مورد بحث قرار می‌دهد، و برخی از سوالات اصلی ریاضی تئوری آشفتگی را شرح می‌دهد. این سؤالات به نظریه تکینگی های Caffarelli-Kohn-Nirenberg برای معادلات تراکم ناپذیر ناویر-استوکس مرتبط است که در سخنرانی های Gallavotti توضیح داده شده است. کاژیخوف نظریه تقریب قوی حدود ضعیف را از طریق روش میانگین‌گیری، به کار رفته در معادلات ناویر-استوکس معرفی می‌کند. Y. Meyer روی چندین معادله تکامل غیرخطی - به ویژه Navier-Stokes - و برخی ویژگی‌های لغو غیرمنتظره مرتبط تمرکز می‌کند، که یا در شرایط اولیه تحمیل می‌شوند یا توسط خود راه‌حل برآورده می‌شوند، هر زمان که در متغیر مکان یا زمان محلی شود. Ukai نظریه تحلیل مجانبی معادلات سیال را ارائه می دهد. او تکنیک کوشی-کووالوسکایا را برای حد بولتزمن-گراد معادله نیوتنی، تجزیه و تحلیل چند مقیاسی، ارائه محدودیت های تراکم پذیر و تراکم ناپذیر معادله بولتزمن، و تحلیل لایه های اولیه آنها مورد بحث قرار می دهد.

Five leading specialists reflect on different and complementary approaches to fundamental questions in the study of the Fluid Mechanics and Gas Dynamics equations. Constantin presents the Euler equations of ideal incompressible fluids and discusses the blow-up problem for the Navier-Stokes equations of viscous fluids, describing some of the major mathematical questions of turbulence theory. These questions are connected to the Caffarelli-Kohn-Nirenberg theory of singularities for the incompressible Navier-Stokes equations that is explained in Gallavotti's lectures. Kazhikhov introduces the theory of strong approximation of weak limits via the method of averaging, applied to Navier-Stokes equations. Y. Meyer focuses on several nonlinear evolution equations - in particular Navier-Stokes - and some related unexpected cancellation properties, either imposed on the initial condition, or satisfied by the solution itself, whenever it is localized in space or in time variable. Ukai presents the asymptotic analysis theory of fluid equations. He discusses the Cauchy-Kovalevskaya technique for the Boltzmann-Grad limit of the Newtonian equation, the multi-scale analysis, giving the compressible and incompressible limits of the Boltzmann equation, and the analysis of their initial layers.