Parabolicity, Volterra Calculus, and Conical Singularities: A Volume of Advances in Partial Differential Equations

معادلات دیفرانسیل جزئی بخشی جدایی ناپذیر از ریاضیات است. آنها در فصل مشترک مناطقی مانند هندسه دیفرانسیل، تحلیل عملکردی یا نظریه گروه های دروغ قرار دارند و کاربردهای متعددی در علوم کاربردی دارند. روشهای زیادی برای تحلیل آنها ابداع شده است. در طول دهه‌های گذشته، جبرهای عملگر در ارتباط با ایده‌ها و ساختارهای هندسه، توپولوژی و فیزیک نظری، ابزارهای بسیار مفیدی را ارائه کرده‌اند. یک مثال معمولی آنالیز بر روی پیکربندی‌های منفرد است، که در آن معادلات بیضوی با موفقیت در چارچوب جبر عملگر با ساختارهای نمادین سازگار با هندسه فضای زیرین مورد مطالعه قرار گرفته‌اند. اخیراً ثابت شده است که این تکنیک ها برای مطالعه معادلات سهموی و هذلولی نیز مفید هستند. علاوه بر این، مشخص شد که بسیاری از موقعیت‌های به ظاهر صاف و غیر فشرده را می‌توان با ایده‌های تحلیل منفرد مدیریت کرد. سه مقاله در ابتدای این جلد این جنبه را برجسته می کند. آنها با معادلات سهموی سروکار دارند، موضوعی که برای بسیاری از کاربردها مرتبط است. مقاله اول با ارائه حسابی برای عملگرهای شبه دیفرانسیل با یک پارامتر تحلیلی ناهمسانگرد زمینه را آماده می کند. در مقاله بعدی، جبری از عملگرهای ملین بر روی استوانه فضا-زمان نامحدود ساخته شده است. نشان داده می‌شود که چگونه می‌توان بی‌نهایت زمانی را به عنوان یک تکینگی مخروطی در نظر گرفت.

Partial differential equations constitute an integral part of mathematics. They lie at the interface of areas as diverse as differential geometry, functional analysis, or the theory of Lie groups and have numerous applications in the applied sciences. A wealth of methods has been devised for their analysis. Over the past decades, operator algebras in connection with ideas and structures from geometry, topology, and theoretical physics have contributed a large variety of particularly useful tools. One typical example is the analysis on singular configurations, where elliptic equations have been studied successfully within the framework of operator algebras with symbolic structures adapted to the geometry of the underlying space. More recently, these techniques have proven to be useful also for studying parabolic and hyperbolic equations. Moreover, it turned out that many seemingly smooth, noncompact situations can be handled with the ideas from singular analysis. The three papers at the beginning of this volume highlight this aspect. They deal with parabolic equations, a topic relevant for many applications. The first article prepares the ground by presenting a calculus for pseudo differential operators with an anisotropic analytic parameter. In the subsequent paper, an algebra of Mellin operators on the infinite space-time cylinder is constructed. It is shown how timelike infinity can be treated as a conical singularity.