Potentialtheorie

Vorwort zum Band 1 Potentialtheorie
Grundlagen der Physikalischen und Mathematischen Geodäsie
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1 Ausgewählte mathematische Elemente
	1.1	Elemente der Vektorrechnung und Vektoranalysis
		1.1.1	Felder
			Skalarfeld
			Vektorfeld
		1.1.2	Differentialoperatoren
			Richtungsableitung und Gradient
			Divergenz und Rotation
			Nabla-Operator, Nabla-Kalkül
		1.1.3	Wichtige Anwendungen
			Gradient von Potenzen des Ortsvektor-Betrages
			Divergenz des Ortsvektors
			Laplace-Gleichung und Laplacesches Vektorfeld
	1.2	Rechtwinklig krummlinige Koordinaten
		1.2.1	Grundbegriffe und Bezeichnungen
		1.2.2	Differentialoperatoren in rechtwinklig krummlinigen Koordinaten
			Gradient
			Divergenz
			Rotation
			Laplace-Operator
		1.2.3	Anwendungsbeispiele
	1.3	Kurven-, Flächen-, Volumenintegrale
		1.3.1	Bezeichnungen
		1.3.2	Zusammenstellung: Kurvenintegrale
		1.3.3	Zusammenstellung: Oberflächenintegrale
		1.3.4	Zusammenstellung: Volumenintegral
	1.4	Feldtheoretische Aspekte
		1.4.1	Charakterisierung von Vektorfeldern
		1.4.2	Globale Struktur von Vektorfelder
	1.5	Harmonische Funktionen
2 Gravitationsfelder von Massenanordnungen
	2.1	Gravitationsfeldstärke von Massenanordnungen
		2.1.1	Gravitationsfelder im Außenraum gravitierender Massen
		2.1.2	Gravitationsfelder im Innenraum gravitierender Massen
	2.2	Beispiele zur Flächen- und Volumenanziehung
		2.2.1	Gravitationsfeldstärke einer homogenen Kreisschicht
		2.2.2	Gravitationsfeldstärke einer homogen belegten Kugeloberfläche
		2.2.3	Gravitationsfeldstärke einer homogenen Kugelschale
3 Gravitationspotentiale von Massenanordnungen
	3.1	Raummasse und einfache Schicht
	3.2	Dipolbelegung: Potential einer Doppelschicht
	3.3	Beispiele von Raum- und Schichtpotentialen
		3.3.1	Gravitationspotential einer homogenen Kugeloberfläche
		3.3.2	Gravitationspotential einer Kugeloberfläche mit Doppelschicht
		3.3.3	Gravitationspotential einer homogenen Kugelschale
	3.4	Eigenschaften der Schichtpotentiale und ihrer Ableitungen
		3.4.1	Potential einer einfachen Schicht
		3.4.2	Potential einer Doppelschicht
	3.5	Poisson- und Laplace-Gleichung
		3.5.1	Zweite Ableitungen eines Volumenpotentials außerhalb der Massen
		3.5.2	Zweite Ableitungen eines Volumenpotentials innerhalb der Massen
	3.6	Zusammenfassung
4 Integralsätze der Potentialtheorie
	4.1	Der Gaußsche Integralsatz
		4.1.1	Anschauliche Ableitung des Gaußschen Integralsatzes
		4.1.2	Elementarer Beweis des Gaußschen Integralsatzes
		4.1.3	Die Gaußsche Formel
	4.2	Die Greenschen Integralformeln
		4.2.1	Erste Greensche Integralformel
			Erste Greensche Integralformel für den Innenraum
			Erste Greensche Integralformel für den Außenraum
		4.2.2	Zweite Greensche Integralformel
		4.2.3	Dritte Greensche Integralformel
			Dritte Greensche Integralformel für den Innenraum
			Dritte Greensche Integralformel für den Außenraum
	4.3	Anwendungen der Greenschen Integralformeln
		4.3.1	Potential einer einfachen Schicht und einer Doppelschicht
		4.3.2	Potential einer Doppelschicht mit konstanter Belegung
		4.3.3	Theorem von Chasles
		4.3.4	Stokessche Konstanten eines Körpers
		4.3.5	Massenbestimmung der Erde
		4.3.6	Die Greenschen Funktionen
			Ausgangsformeln
			Greensche Funktion 1. Art
			Greensche Funktion 2. Art
5 Kugelfunktionen und Anwendungen
	5.1	Definition der Kugelfunktionen
	5.2	Lösung der Laplace-Gleichung
	5.3	Quellendarstellung des Gravitationspotentials
	5.4	Entwicklung einer Funktion nach Kugelflächenfunktionen
	5.5	Direktes und inverses Problem
		5.5.1	Zusammenfassung
		5.5.2	Lösung einer 1. Randwertaufgabe
			Lösungsweg
			Eindeutigkeit der 1. Randwertaufgabe
	5.6	Physikalische Interpretation der Potentialkoeffizienten
6 Diskussion der Kugelfunktionen
	6.1	Legendresche Polynome
		6.1.1	Definition der Legendreschen Polynome
		6.1.2	Berechnung der Legendreschen Polynome
	6.2	Zugeordnete Legendresche Funktionen
		6.2.1	Definition der zugeordneten Legendreschen Funktionen
		6.2.2	Berechnung der zugeordneten Legendreschen Funktionen
	6.3	Kugelflächenfunktionen
		6.3.1	Allgemeine Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen
		6.3.2	Zonale, tesserale und sektorielle Kugelflächenfunktionen
			6.3.2.1 Zonale Kugelflächenfunktionen
			6.3.2.2 Tesserale Kugelflächenfunktionen
			6.3.2.3 Sektorielle Kugelflächenfunktionen
		6.3.3	Laplacesche Kugelflächenfunktionen
	6.4	Räumliche Kugelfunktionen
		6.4.1	Richtungsabhängigkeit der Kugelfunktionen
		6.4.2	Räumliche Auflösung der Kugelflächenfunktionen
		6.4.3	Radiale Abhängigkeit der Kugelfunktionen
7 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
	7.1	Allgemeine Bemerkungen zu den Randwertaufgaben
		7.1.1	Aufgabenstellung
		7.1.2	Einteilung der Randwertaufgaben nach dem Randwerttyp
	7.2	Lösung der Randwertaufgaben für den Außenraum einer Kugel
		7.2.1	Lösung der 1. Randwertaufgabe
			Lösung mit Hilfe des Poissonschen Integrals
			Lösung mit Hilfe von Kugelfunktionen
			Eine alternative Ableitung des Poissonschen Integrals
		7.2.2	Lösung der 2. Randwertaufgabe
			Lösung mit Hilfe von Kugelfunktionen
			Lösung mit Hilfe der Neumann-Funktion
		7.2.3	Lösung der 3. Randwertaufgabe
			Lösung mit Hilfe von Kugelfunktionen
			Lösung mit Hilfe des Stokesschen Integrals
	7.3	Lösung der Randwertaufgaben bei allgemeinen Randflächen
		7.3.1	Aufgabenstellung, Überblick
		7.3.2	Erste Randwertaufgabe bei beliebigem Rand
		7.3.3	Dritte schiefachsige Randwertaufgabe bei beliebigem Rand
8 Alternative Kugelfunktionsdarstellungen
	8.1	Reelle und komplexe Darstellungen
		8.1.1	Nicht normierte reelle Kugelflächenfunktionen
		8.1.2	Vollständig normierte reelle Kugelflächenfunktionen
		8.1.3	Komplexe Kugelflächenfunktionen
		8.1.4	Konjugiert komplexe Kugelflächenfunktionen
	8.2	Transformationen
		8.2.1	Transformation zwischen Legendreschen Funktionen
		8.2.2	Transformation zwischen den Kugelflächenfunktionen
		8.2.3	Transformation zwischen den Entwicklungskoeffizienten
9 Koordinatenverschiebungen
	9.1	Endliche Drehungen des Koordinatensystems
		9.1.1	Transformation der Kugelfunktionsentwicklung
		9.1.2	Transformation der Potentialkoeffizienten
	9.2	Endliche Translationen des Koordinatensystems
		9.2.1	Transformation der Kugelfunktionsentwicklung
		9.2.2	Transformation der Potentialkoeffizienten
	9.3	Infinitesimale Verschiebungen des Koordinatensystems
		9.3.1	Verschiebungsoperatoren: Translation und Rotation
		9.3.2	Verschiebungsoperatoren in sphärischen Polarkoordinaten
	9.4	Infinitesimale Drehungen des Koordinatensystems
		9.4.1	Transformation der Kugelfunktionen
		9.4.2	Transformation der Potentialkoeffizienten
	9.5	Infinitesimale Translation des Koordinatensystems
		9.5.1	Transformation der Kugelfunktionen
		9.5.2	Transformation der Potentialkoeffizienten
10 Gravitationsfeldfunktionale in Kugelfunktionen
	10.1	Reelle Darstellungen
		10.1.1	Gravitationsfeldstärke
		10.1.2	Gravitationstensor
	10.2	Komplexe Darstellung
		10.2.1	Gravitationsfeldstärke
		10.2.2	Gravitationstensor
		10.2.3	Potentielle Energie der Gravitationswechselwirkung
		10.2.4	Drehmoment
		10.2.5	Gezeitenpotential
		10.2.6	Gezeitenkraft
	10.3	Bemerkungen zur Anwendung auf das Erdsystem
Literatur (Auswahl)
Stichwortverzeichnis